车辆动力学基础温习1

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本文为车辆动力学温习的总结1,通过规划问题中的一个具体问题,求解曲率限速时的转弯半径,分别使用几何与动力学的形式推导出最基本的自行车模型.
整理于《车辆操作动力学理论与应用》–安部正人的第三章.

问题描述

规划问题中需不需要考虑车辆动力学模型,答案是肯定的.不管是MPC优化求解,还是Hybrid A*搜索中都需要使用车辆动力学模型.那还有其他场景会用到吗?例如下面的问题:
入弯后,尤其是曲率较大的弯道,纵向速度需要进行曲率限速,那么问题就来了如何取得特定曲率半径下的最大速度呢？高中物理告诉我们直接用横摆角速度$r$与速度$V$的关系即可求得：
$$
\rho = \frac{V}{r}
$$
但是横摆角速度$r$为一阶量很难准确估计出特定时刻处的精确值,那有没有更好的模型来计算呢？答案是建立较准确的模型,使用转向角$\delta$来计算.以下即为基于基础车辆动力学模型的推导.

首先明确一些量的定义：

标记	含义	标记	含义
$m$	车身质量	$I$	车辆的横摆转动惯量
$l$	轴距	$l_f$	车辆质心到前轴的距离
$l_r$	车辆质心到后轴的距离	$K_f$	前轮的侧偏刚度
$K_r$	后轮的侧偏刚度	$V$	车速
$\delta$	前轮转向角	$\beta$	车辆质心侧偏角,$arctan(\frac{v_y}{v_x})$
$\beta_f$	前轮侧偏角(轮胎行进方向与轮胎航向角的夹角)	$\beta_r$	后轮侧偏角
$Y_f$	前轮侧向力	$Y_r$	后轮侧向力
$d_f$	前轮轮距	$d_r$	后轮轮距
$r$	横摆角速度	$\theta$	横摆角
$x$	表示车辆的纵向	$y$	表示车辆的侧向或侧向位移
$P$	质点	$O$	圆周运动圆心

基于几何的推导

低速稳态转向运动$V\approx0$

上图为低速稳态转向运动时的车辆运动模型$V \approx0$,其他前提条件为$0 < δ << 1, l << ρ_s, ρ_s >> d$

汽车的后轴中心为圆上点可以得到如下几何关系,即为阿克曼转向几何学,$δ = l / ρ_s$ 被称为阿克曼转向角 ：

$$ \rho_s=\frac{l} {\tan \delta} \approx \frac{l} {\delta} \\\\ r_s = \frac{V}{\rho_s} = \frac{V \delta}{l} \\\\ \beta_s = arctan \frac{l_r}{\rho_s} \approx \frac{l_r}{\rho_s} $$

这里不考虑因为连杆机构导致的左右轮转向角不一致的理论情况(实际左边的轮子转向角较大),也就是自行车模型.

低速稳态转向运动$V>0$

当速度上升,做圆周运动时会产生离心力,需要左右轮之间产生侧偏力与之平衡,所以前后轮都会产生侧偏角分别为$\beta_f,\beta_r$.前后轮侧偏角的延长线交点为$O$.在质点(几何中心)处产生的合力为$\bar{F}$,其中前轮产生的力为$2Y_f$,后轮产生的力为$2Y_r$​.

假定$0 < δ << 1, 0 < β_f, β_r << 1, ρ_s >> l 和 d$.
$$
\rho=\frac{l} {\tan (\delta - \beta_f + \beta_r)} \approx \frac{l} {\delta - \beta_f + \beta_r} \\
r = \frac{V}{\rho} = \frac{V (\delta - \beta_f + \beta_r)}{l} \\
$$

根据上图可以得到
$$
\beta + \beta_r = \frac{l_r}{\rho} \\
\beta = \frac{l_r}{\rho} - \beta_r = \frac{l_r}{l}\delta - \frac{l_r \beta_f + l_f \beta_r}{l}
$$
假设轮胎处于转向角与侧向力的线性区,下图为转向角与侧向力的一般关系图：

可得前后轮的侧向力为
$$
2Y_f = 2 K_f \beta_f \
2Y_r = 2 K_r \beta_r
$$
由力平衡(离心力与轮胎侧向力,转动扭矩)可得下面
$$
\frac{mV^2}{\rho} -2 K_f \beta_f - 2 K_r \beta_r = 0 \\
-2 K_f \beta_f l_f - 2 K_r \beta_r l_r = 0
$$
联立求解可得
$$
\beta_f = \frac{mV^2 l_r}{2 l K_f \rho} \\
\beta_r = \frac{mV^2 l_f}{2 l K_r \rho}
$$
带入之前的式子中可得

$$ \beta=\left(\frac{1-\frac{m l_{\mathrm{f}}}{2 l l_{\mathrm{r}} K_{\mathrm{r}}} V^{2}}{1-\frac{m}{2 l^{2}} \frac{l_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{f}}-l_{\mathrm{r}} K_{\mathrm{r}}}{K_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{r}}} V^{2}}\right) \frac{l_{\mathrm{r}}}{l} \delta \\ r=\left(\frac{1}{1-\frac{m}{2 l^{2}} \frac{l_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{f}}-l_{\mathrm{r}} K_{\mathrm{r}}}{K_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{r}}} V^{2}}\right) \frac{V}{l} \delta \\ \rho=\frac{V}{r}=\left(1-\frac{m}{2 l^{2}} \frac{l_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{f}}-l_{\mathrm{r}} K_{\mathrm{r}}}{K_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{r}}} V^{2}\right) \frac{l}{\delta} $$

最后一项即为曲率半径求解公式.

基于动力学的推导

求解车辆坐标系下的运动方程

如图自车质心$P$点处的位矢为$\textbf{R}$,那么速度矢量为$\dot{\textbf{R}}$.加速度矢量为$\ddot{\textbf{R}}$
$$
\dot{\textbf{R}} = {u} \textbf{i} + v \textbf{j} \\
\ddot{\textbf{R}} = \dot{u} \textbf{i} + u \dot{\textbf{i}} + \dot{v} \textbf{j} + v \dot{\textbf{j}}
$$

由上图可知单位矢量在旋转后对$t$的求导.

先是应用旋转矩阵得到如下：

$$ \begin{gathered} \boldsymbol{i}=\cos \theta \boldsymbol{i}_{\mathrm{F}}+\sin \theta \boldsymbol{j}_{\mathrm{F}} \\\\ \boldsymbol{j}=-\sin \theta \boldsymbol{i}_{\mathrm{F}}+\cos \theta \boldsymbol{j}_{\mathrm{F}} \end{gathered} $$

因为$\theta=r \cdot dt$,对上面求导可得

$$ \begin{gathered} \dot{\boldsymbol{i}}=-\dot{\theta} \sin \theta \boldsymbol{i}_{\mathrm{F}}+\dot{\theta} \cos \theta \boldsymbol{j}_{\mathrm{F}}=r\left(-\sin \theta \boldsymbol{i}_{\mathrm{F}}+\cos \theta \boldsymbol{j}_{\mathrm{F}}\right)=r \boldsymbol{j} \\\\ \dot{\boldsymbol{j}}=-\dot{\theta} \cos \theta \boldsymbol{i}_{\mathrm{F}}-\dot{\theta} \sin \theta \boldsymbol{j}_{\mathrm{F}}=-r\left(\cos \theta \boldsymbol{i}_{\mathrm{F}}+\sin \theta \boldsymbol{j}_{\mathrm{F}}\right)=-r \boldsymbol{i} \end{gathered} $$

带入可得

$$ \ddot{\boldsymbol{R}}=(\dot{u}-v r) \boldsymbol{i}+(\dot{v}+u r) \boldsymbol{j} $$

由于$u >> u$, $|\beta|$可以认为很小,可得,详细可参考下图：

$$ u=V \cos \beta \approx V, \quad v=V \sin \beta \approx V \beta, \\\\ \dot{u}=-V \sin \beta \dot{\beta} \approx-V \beta \dot{\beta}, \quad \dot{v}=V \cos \beta \dot{\beta} \approx V \dot{\beta} \\ \ddot{\boldsymbol{R}}=-V(\dot{\beta}+r) \beta \boldsymbol{i}+V(\dot{\beta}+r) \boldsymbol{j} \\ \dot{\boldsymbol{R}}=V \boldsymbol{i}+V \beta \boldsymbol{j} $$

由力以及转动力矩的平衡可得：

$$ m V\left(\frac{\mathrm{d} \beta}{\mathrm{d} t}+r\right)=Y_{\mathrm{fl}}+Y_{\mathrm{f} 2}+Y_{\mathrm{r} 1}+Y_{\mathrm{r} 2}\\\\ I \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}=l_{\mathrm{f}}\left(Y_{\mathrm{fl}}+Y_{\mathrm{f} 2}\right)-l_{\mathrm{r}}\left(Y_{\mathrm{r} 1}+Y_{\mathrm{r} 2}\right) $$

自车在$y$方向的速度分量近似为$V \beta$,同时还有一个绕质心的转动角速度$r$.因此每个轮子都会有关于质心的速度分量以及绕质心转动的角速度分量.前轮因为为转动轮,需要加上转向角$\delta$.

参考上图可得四个轮子的侧向力系数计算如下：
$$
\beta_{\mathrm{f} 1} \approx \frac{V \beta+l_{\mathrm{f}} r}{V-d_{\mathrm{f}} r / 2}-\delta \approx \beta+\frac{l_{\mathrm{f}} r}{V}-\delta \\
\beta_{\mathrm{f} 2} \approx \frac{V \beta+l_{\mathrm{f}} r}{V+d_{\mathrm{f}} r / 2}-\delta \approx \beta+\frac{l_{\mathrm{f}} r}{V}-\delta \\
\beta_{\mathrm{rl}} \approx \frac{V \beta-l_{\mathrm{r}} r}{V-d_{\mathrm{r}} r / 2} \approx \beta-\frac{l_{\mathrm{r}} r}{V} \\
\beta_{\mathrm{r} 2} \approx \frac{V \beta-l_{\mathrm{r}} r}{V+d_{\mathrm{r}} r / 2} \approx \beta-\frac{l_{\mathrm{r}} r}{V}
$$
前后轮的侧偏力为：
$$
Y_{\mathrm{f}}=Y_{\mathrm{fl}}+Y_{\mathrm{f} 2} = -2 K_f ( \beta+\frac{l_{\mathrm{f}} r}{V}-\delta )\\
Y_{\mathrm{r}}=Y_{\mathrm{rl}}+Y_{\mathrm{r} 2} = -2 K_r( \beta-\frac{l_{\mathrm{r}} r}{V} )
$$
基于左右两轮侧向力一致的模型可以简化为下面自行车模型：

受力平衡可得如下方程组：

$$ \begin{gathered} m V\left(\frac{\mathrm{d} \beta}{\mathrm{d} t}+r\right)=2 Y_{\mathrm{f}}+2 Y_{\mathrm{r}} \\\\ I \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}=2 l_{\mathrm{f}} Y_{\mathrm{f}}-2 l_{\mathrm{r}} Y_{\mathrm{r}} \end{gathered} $$

带入侧向力公式可得车辆运动方程式

$$ \begin{gathered} m V \frac{\mathrm{d} \beta}{\mathrm{d} t}+2\left(K_{\mathrm{f}}+K_{\mathrm{r}}\right) \beta+\left[m V+\frac{2}{V}\left(l_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{f}}-l_{\mathrm{r}} K_{\mathrm{r}}\right)\right] r=2 K_{\mathrm{f}} \delta \\\\ 2\left(l_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{f}}-l_{\mathrm{r}} K_{\mathrm{r}}\right) \beta+I \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}+\frac{2\left(l_{\mathrm{f}}^{2} K_{\mathrm{f}}+l_{\mathrm{r}}^{2} K_{\mathrm{r}}\right)}{V} r=2 l_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{f}} \delta \end{gathered} $$

求解$\beta, r, \rho$

车辆做稳态转向运动时,$d\beta/dt=0,dr/dt=0$.

对$\beta,r$​求解得：

$$ \beta=\left(\frac{1-\frac{m l_{\mathrm{f}}}{2 l l_{\mathrm{r}} K_{\mathrm{r}}} V^{2}}{1-\frac{m}{2 l^{2}} \frac{l_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{f}}-l_{\mathrm{r}} K_{\mathrm{r}}}{K_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{r}}} V^{2}}\right) \frac{l_{\mathrm{r}}}{l} \delta \\\\ r=\left(\frac{1}{1-\frac{m}{2 l^{2}} \frac{l_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{f}}-l_{\mathrm{r}} K_{\mathrm{r}}}{K_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{r}}} V^{2}}\right) \frac{V}{l} \delta $$

然后得:

$$
\rho=\frac{V}{r}=\left(1-\frac{m}{2 l^{2}} \frac{l_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{f}}-l_{\mathrm{r}} K_{\mathrm{r}}}{K_{\mathrm{f}} K_{\mathrm{r}}} V^{2}\right) \frac{l}{\delta}
$$
可以看到与基于几何的推导结果完全一致.

进一步地假设$V\approx0$,得到如下结果：
$$
\begin{aligned}
&\beta_{(V \approx 0)}=\beta_{\mathrm{s}}=\frac{l_{\mathrm{r}}}{l} \delta \\
&r_{(V \approx 0)}=r_{\mathrm{s}}=\frac{V}{l} \delta \\
&\rho_{(V \approx 0)}=\rho_{\mathrm{s}}=\frac{l}{\delta}
\end{aligned}
$$
也与上面基于几何的结果极低速结果一致.